Exemplo prático das leis de Kepler - 3 em 1

BURACO NEGRO

 

      Buraco Negro é uma região do espaço onde o campo gravitacional é tão forte que nada sai dessa região, nem a luz; daí vermos negro naquela região. Matéria (massa) é que "produz" campo gravitacional a sua volta. Um campo gravitacional forte o suficiente para impedir que a luz escape pode ser produzido, teoricamente, por grandes quantidades de matéria ou matéria em altíssimas densidades.

 

Velocidade de Escape

 

      Se atirarmos uma pedra para cima ela "sobe" e depois "desce", certo?
      Errado!
      Se atirarmos um corpo qualquer para cima com uma velocidade "muito" grande, esse corpo "sobe" e se livra do campo gravitacional da Terra, não mais "retornando" ao nosso planeta.
      A velocidade mínima para isso acontecer é chamada de velocidade de escape. A velocidade de escape na superfície da Terra é 40.320 Km/h. Na superfície da Lua, onde a gravidade é mais fraca, é 8.568 Km/h, e na superfície gasosa do gigantesco Júpiter é 214.200 Km/h.
      A velocidade da luz é aproximadamente 1.080.000.000 Km/h. Um buraco negro é um corpo que produz um campo gravitacional forte o suficiente para ter velocidade de escape superior à velocidade da luz.
      A massa do Sol (0,2 X 10³¹Kg) é 333 mil vezes a massa da Terra e seu diâmetro (1,4 milhões de quilômetros) é mais de 100 vezes o diâmetro da Terra. Ele se transformaria em um buraco negro caso se contraísse a um diâmetro menor que 6 Km.

 

Detecção

 

      Uma vez que nada sai de um buraco negro, nada de um buraco negro chega até nós. Resta-nos então observá-lo indiretamente, através de sua ação sobre sua vizinhança. "Vemos" um buraco negro observando "coisas" que o rodeiam sob a ação do seu campo gravitacional ou então que "caem" em sua direção, também sob a ação desse mesmo campo gravitacional.
      A velocidade com que a matéria, a uma determinada distância de um corpo, o orbita, é proporcional à gravidade desse corpo. Mesmo sem vermos o corpo central podemos saber qual a sua massa se virmos e medirmos a velocidade de nuvens de gás e poeira que o orbitam, por exemplo.
      Uma outra situação: se sob a ação da gravidade do corpo central, matéria "cai" em direção a ele, esse material enquanto vai "caindo" vai se comprimindo; por se comprimir vai se esquentando, e quanto mais quente fica, mais irradia... Também nesse caso, se medimos essa radiação, obtemos informações sobre o corpo central.

 

Buracos Negros Super Massivos

 

      Em 1994, astrônomos que trabalhavam com o Telescópio Espacial Hubble, não apenas obtiveram fortes indícios da presença de um buraco negro no centro de uma galáxia espiral, como também mediram a sua massa. Através de um efeito bem conhecido da física (Efeito Doppler) foi possível medir a velocidade de gás e poeira girando em torno do centro da galáxia M87.
      Pelo desvio das linhas espectrais da radiação emitida por esse material, chegou-se à conclusão que ele gira em torno do núcleo de M87 com uma velocidade muito grande. Para manter esse material com uma velocidade tão grande é preciso uma massa central também muito grande. Uma quantidade tão grande de massa no volume interno à órbita do material que o circula só pode ser um buraco negro. A massa deste buraco negro foi estimada em 3 bilhões de massas solares.

 

      Posteriormente foram obtidos indícios de outros buracos negros no centro de outras galáxias. A tabela abaixo nos apresenta 17 galáxias que atualmente suspeitamos possuírem buracos negros supermassivos em seus centros. Também é apresentada a massa estimada desses buracos negros.

Relação: Kepler e Copérnico

Foi com a hipótese heliocêntrica de Copérnico que diz q o Sol estaria em repouso e a Terra e os demais planetas girariam em torno dele em órbitas circulares foi que levaram às leis de Kepler do movimento planetário provando a lei de Copérnico, mas com uma diferença, as órbitas eram elípticas e não circulares como dizia Copérnico.

Vida de Kepler (1571 - 1630)

Entre a segunda metade do século XVI e os primeiros anos do século XVII, a civilização européia sofria turbulentas transformações. A influência cultural da Renascença, a Reforma de Lutero e o descobrimento da América haviam abalado todo o edifício de idéias políticas, sociais, religiosas e científicas.

Nesse conturbado período, entrechocavam-se velhas e novas idéias científicas e consolidava-se também a atitude de objetividade que até hoje caracteriza a ciência moderna. No campo particular da astronomia, a contribuição somada de Copérnico, Kepler, Tycho Brahe e Galileu iria destruir o consenso milenar estabelecido pelas teorias de Ptolomeu em seu Almagesto.

Sintomaticamente, cada um desses homens notáveis teve de enfrentar toda sorte de obstáculos para impor suas teorias. O trabalho de todo cientista, então, dependia do caprichoso consentimento dos governantes e da Igreja. Embora o progresso da Ciência ainda hoje dependa principalmente de verbas de pesquisa governamentais ou empresariais, nos países industrializados ocorre muito menos interferência de ordem pessoal. Mas não era assim naquela época.

Kepler e seus contemporâneos dependiam de caprichosos favores dispensados pela nobreza ou pelo clero para que pudessem realizar seus estudos. Além disso, perseguições movidas pelo pensamento obscurantista os forçaram, mais de uma vez, a apelar para recursos fraudulentos que, em outras circunstâncias, pareceriam repugnantes ao cientista moderno.

Dentro desse panorama tão adverso, o espírito de Kepler só pôde sobressair e impor-se como resultado de uma conjugação de qualidades, sobretudo perseverança, resignação e fé na própria capacidade.

As desventuras e dificuldades de Kepler começaram muito cedo, nas próprias bases instáveis do lar. O pai, um soldado mercenário, sem vocação para a vida familiar, abandonou a esposa quatro vezes. Segundo alguns biógrafos, o desinteresse paterno encontrava boa justificativa na fraca personalidade da mulher.

Johannes Kepler nasceu a 27 de dezembro de 1571, em Weil, província de Würtemberg, Áustria. Segundo ele mesmo comentaria mais tarde com alguma ironia, o nascimento parece não ter sido presidido por uma configuração favorável dos astros. Ao longo de sua vida infeliz, uma sucessão de infortúnios desanimadores viria a ocorrer. Logo na infância, de fato, a varíola e a escarlatina viriam deformar-lhe as mãos e debilitar irremediavelmente a visão.

Mesmo doentio, teve de interromper os estudos iniciados em Leonberg para ajudar a mãe no restaurante que ela dirigia em Ellmendingen. Mas, com apenas doze anos, frágil de constituição, o garoto não poderia mostrar grande valia no duro trabalho da taverna. E, assim, foi-lhe permitido retomar os estudos.

Em 1584, com treze anos, ingressou no Seminário de Adelberg. Transferiu-se depois para o de Maulbronn e finalmente entrou no Seminário de Tübingen, passo decisivo em sua formação. Ali tornou-se o aluno predileto do Padre Michel Mästlin, astrônomo de grande fama na época e de prestígio perpetuados até hoje (uma das crateras da Lua leva seu nome. Foi através de Mästlin que Kepler conheceu as idéias de Copérnico. Embora ensinasse astronomia no seminário segundo as idéias de Ptolomeu, para alunos particulares e de confiança, como Kepler, o mestre revelava a concepção de Copérnico, secretamente adotada.

Em 1591, com apenas vinte anos, Kepler já estava diplomado em filosofia e passava a estudar teologia, seu assunto favorito. Necessidades financeiras, porém levaram-no a aceitar o cargo de professor de matemática e astronomia num ginásio de Steyr. A contragosto, portanto, teve de renunciar à carreira eclesiástica e dar atenção à astronomia, que detestava, apesar de seu interesse pela matemática. Dois anos depois, a astronomia estaria ocupando prioridade absoluta em seu pensamento.

Tão acentuado era seu gosto pela matéria, que publicou precocemente uma a intitulada Mysterium Cosmographicum. Não chegava a ser um trabalho brilhante, sobretudo pelas falhas de objetividade causadas por seus preconceitos místicos. Mas, no livro, Kepler apresentava alguns corajosos argumentos em apoio à hipótese de Copérnico. E, com isso, o autor conseguiu atrair a atenção de outros cientistas. Galileu, por carta, elogiou o trabalho; e Tycho Brahe enviou-lhe um convite para encontrá-lo em Praga, onde exercia o cargo de astrônomo oficial da corte do Imperador Rodolfo II. Kepler aceitou poucos anos depois.

Em 1597, com 26 anos, Kepler desposou uma rica e jovem viúva, Barbara Müller. Os biógrafos discordam na avaliação dessa personagem e sobre sua importância na carreira de Kepler. É fato, porém, que o ano imediatamente posterior ao casamento foi bastante sereno e fecundo para Kepler. A relativa tranqüilidade voltou a ser turbada por um acontecimento histórico que nada tinha a ver com a vida conjugal do cientista: Ferdinando sucedeu a Karl, como arquiduque da Áustria, e logo a seguir decretou o exílio de todos os protestantes. Isso incluía Kepler, que era protestante devotado.

A princípio seu prestígio científico mereceu uma intercessão surpreendente por parte dos jesuítas. Mas a hostilidade reinante acabou por forçá-lo a decidir-se: mudou para Praga, onde trabalharia como assistente de Tycho Brahe.

Na capital da Boêmia, tudo começou mal. A saúde entrou em crise, a personalidade dominadora e irritadiça de Tycho Brahe pressionava e os caprichos do imperador embargavam o trabalho. Na época, era função dos astrônomos da corte fornecerem horóscopos e toda sorte de predições, tarefas julgadas mais importantes do que as atividades científicas. Além dessas humilhantes imposições do imperador, os dois cientistas sofriam também com a inércia e a má-fé dos tesoureiros imperiais; atrasos de pagamentos faziam parte da rotina.

Com o tempo, porém, Kepler e Tycho Brahe foram resolvendo seus problemas de relacionamento. O interesse científico de ambos e o fascínio das descobertas que faziam no observatório eram comungados pelos dois. E, como esse interesse comum fosse predominante para ambos, acabaram amigos e colaboradores. Quando Tycho Brahe morreu, em 1601, a colaboração ainda não seria interrompida: por sua indicação, Kepler iria sucedê-lo como diretor do observatório montado escrupulosamente anos antes. Por outro lado, Kepler prometeu ao moribundo concluir a compilação dos dados acumulados pelo amigo; reuniria, organizaria e completaria as informações e os cálculos legados por Tycho Brahe.

Entre esses trabalhos, que Kepler continuaria, incluía-se uma série sistemática de medidas das posições que os planetas vinham ocupando em redor do Sol. Tycho Brahe tinha esperança de que o cotejo dos dados reunidos, e mais alguns, levariam a um arbítrio final da questão entre seguidores de Copérnico e de Ptolomeu.

 

Torricelli... Nasceu na Itália, era grande amigo de Galileu... E criou uma equação que facilita muito os cálculos sem tempo...

Dedução da Equação

Na resolução de problemas envolvendo o movimento uniformemente variado (MUV) podemos usar duas equações, a função horária do espaço e a função horária da velocidade.

Função Horária da Velocidade: V = Vo + a.t

Função Horária do Espaço: S = So +Vo.t + (a.t:2)

A equação de Torricelli aparece quando isolamos o tempo na função horária da velocidade e o substituímos na função horária do espaço. Na verdade, podemos dizer que juntando as 2 equações acima, teremos Torricelli.

Isso significa que você pode responder qualquer exercício de MUV sem Torricelli.  Basta você usar uma das equações acima e depois substituir o valor encontrado na outra.  O que a equação de Torricelli faz é encurtar o caminho, servindo como um atalho.  Basta usá-la uma vez e pronto.

Isolando o tempo t na segunda equação e substituindo na primeira, vem:

Reduzindo ao mesmo denominador:

2a(S - So ) = 2 v 0 v - 2vo 2 + v 2 - 2vv 0 + vo 2

2a(S - So ) = - vo 2 + v 2

v 2 = vo 2 + 2 a (S - So ) mas D S = S - So Sendo assim: v 2 = vo 2 + 2a D S

Solução: São dados - v = 144 Km/h = 40 m/s

D S = 50 m

v 0 = 0

v 2 = v 0 2 + 2.a. D S

40 2 = 0 2 + 2.a.50 Þ 1600 = 100 a Þ a = 16 m/s 2

Equação de Torricelli

A equação de Torricelli é usada em movimentos de corpos, contanto q estejam em MUV (Movimento Uniformemente Variado).

Veja como ela é e o que cada termo representa.

V2 = Vo2 + 2.a.DS

V = Velocidade Final

Vo = Velocidade Inicial

a =  Aceleração

DS = Variação de Espaço (S – So)

Se você reparar, o tempo não está nesta equação, e é por isso que ela é útil.  Se você estiver resolvendo um problema, e nele não for dado o tempo, muito provavelmente a melhor saída será usar a equação de Torricelli.

Obras de Torricelli

1. Trabalhos Originais. Os escritos e correspondência científica foram publicados no Opere di Evangelista Torricelli, Gino Loria e Giuseppe Vassura, eds., 4 vols. 5 partes. (I-III, Faenza, 1919; IV, 1944). Trabalhos individuais são Opera geometrica. De sphaera et solids sphaeralibus libri duo . . . De motu gravium naturaliter descendentium et proiectorum libri duo. De dimensione parabolae (Florença, 1644), a primeira sec. repr. com este longo título, De sphaera et solidis sphaeralibus libri duo in quibus Archimedis doctrina de sphaera et cylindro denuo componitur, latius promovetur et in omni specie solidorum, quae vel circa, vel intra sphaeram, ex conversione poligonorum regularium gigini possint, universalius propagatur (Bolonha, 1692); Lezione accademiche, Tommaso Bonaventuri, ed. (Florença, 1715; segunda ed., Milão, 1813); e "Sopra la bonificazione della Valle di Chiani," em Raccolta d'autori che trattano del moto delle acque, IV (Florença, 1768). Outros escritos curtos foram publicados em trabalhos históricos, mencionados abaixo.

A maioria dos MSS de Torricelli, após complicadas traduções e algumas perdas, como citado na introdução de Opere, estão preservados na Biblioteca Nazionale Centrale, Florença; Angiolo Procissi, em Evangelista Torricelli nel teerzo centenario della morte ( Florença , 1951), 77 - 109, dá um acurado catálogo. Os trabalhos autografados, exceto um, e os souvenirs deixados no Museu Torricelli em Faenza foram destruídos em 1944.

II. Literatura Secundária. Todas as histórias da matemática ou física tratam mais ou menos completamente da vida e do trabalho deTorricelli. Opere, IV, 341-346, contém uma bibliografia. Alguns dos mais significativos trabalhos são Timauro Antiate (pseudônimo de Carlo Dati), Lettera ai Filaleti. Della vera storia della cicloide e della famosissima esperienza dell'argento vivo (Florença, 1663), a primeira publicação da correspondência com Ricci no experimento barométrico; [Tommaso Bonaventuri], em Lezione accademiche, prefácio, v-xlix, Angelo Fabroni, Vitae Italorum doctrina excellentium qui saeculis XVII et XVIII floruerunt, I (Pisa, 1778), 340-399, o apêndice contém Racconto di alcuni problemi; e Giovani Tagioni Tozzetti, Notizie degli aggrandimenti delle scienze fisiche accaduti in Toscana nel corso di anni LX del secolo XVII, 4 vols. (Florença, 1780).

Há também Vincenzo Antinori, Notizie istoriche relative all'Accademia del Cimento, nas séries Saggi di Naturali esperienze fatte nell'Accademia del Cimento (Florença, 1841), passim, esp. 27; Ernst Mach, Die Mechanik in Ihrer Entwickelung historisch-kritischi dargestellt, segunda ed. (Leipzig, 1889), 377 ff.; e Raffaello Caverni, Storia del metodo sperimentale in Italia, 6 vols. (Florença, 1891-1900; repr. Bolonha, 1970)-vols. I, IV, V contém passagens não publicadas de Torricelli.

Depois da publicação de Opere, que contém muitos escritos não publicados , os estudos sobre Torricelli receberam um novo ímpeto. Os trabalhos seguintes contêm muitas outras referências bibliográficas: Vasco Ronchi, "Sopra una lente di Evangelista Torricelli," em l'Universo (Florença), 5, no. 2 (1924); Mário Gliozzi, Origini e sviluppi dell'esperienza torricelliana (Turim, 1931), repr. com adições em Opere, IV, 231-294; C. de Waard, L'expérience barométrique, ses antécédents ei ses explications (Thouars, 1936); Guido Castelnuovo, Le origini del calcolo infinitesimale nell'era moderna (Bolonha, 1938; segunda ed., Milão, 1962), passim, esp. 52-53, 58-62; Ettore Bortolotti, "L'opera geometrica de Evangelista Torricelli," em Monatshefe für Mathematik und Physik, 48 (1939), repr. em Opere, IV, 301-337; Ettore Carruccio, De infinitis spiralibus, intro., rearranjamento, trans., e notas por Carruccio (Pisa, 1955); Giuseppe Rossini, Lettere e documenti riguardanti Evangelista Torricelli ( Faenza, 1956); Convegno di studi torricelliani in occasione del 350( anniversario della nascita di Evangelista Torricelli (Faenza, 1959); e W. E. Knowles Middleton, The History of the Barometer (Baltimore, 1964), cap. 2.

Vida de Torricelli (1608 - 1647)

No ano de 1608, a 15 de outubro, nascia em Faenza um futuro cientista, destinado a desempenhar importante papel no desenvolvimento das idéias de Galileu. Seu nome era Evangelista Torricelli, o responsável pela comprovação do pêso do ar, também conhecido como precursor de Newton e Leibniz no desenvolvimento do cálculo infinitesimal.

Para que o menino pudesse estudar, seu pai, homem humilde, decidiu confiá-lo a um tio, superior de uma ordem eclesiástica. Foi esse o seu primeiro mestre, até que atingiu a idade necessária para ser aceito numa escola de jesuítas. Em 1627, com dezenove anos, inscreveu-se na Universidade de Roma. Aí, estudou matemática sob a orientação de Benedetto Castelli. Tinha como colegas alguns futuros matemáticos de fama, como Cavalieri e Ricci. Entre o professor e o aluno estabeleceu-se profunda identidade, a ponto de Castelli propô-lo a Galileu como secretário. A essa altura, Torricelli já havia ganho sólida fama científica. Não era, portanto, um simples desconhecido o homem que, em 1641, dirigiu-se a Florença, onde Galileu passava os últimos anos de sua vida em prisão domiciliar.

Galileu já exercia influência sobre seu jovem secretário muito antes de conhecê-lo pessoalmente, desde a época em que Torricelli estudara o Diálogo sobre os Dois Máximos Sistemas. A permanência na vila de Galileu e a convivência com outros discípulos (entre os quais Viviani) contribuíram para intensificar essa influência. Em pouco tempo Galileu conseguira convertê-lo para a causa do método científico como único meio válido para qualquer tipo de estudo.

A morte do mestre, entretanto, poucos meses após a chegada de Torricelli, fez com que o grupo de discípulos se dispersasse rapidamente. Torricelli pretendia dirigir-se a Roma, onde possuía amizades e conhecimentos feitos durante o período de seus estudos. Mas a fama alcançada em Florença, por ocasião de sua breve estada, impediu-o de partir: o Grão-Duque da Toscana nomeou-o matemático da corte. Tornava-se, dessa maneira, sucessor de Galileu na cátedra de matemática da Universidade.

Grande parte dos estudos matemáticos de Torricelli não conseguiu sobreviver. Eram, sobretudo, trabalhos efetuados em Roma, em época precedente ao período toscano, quando Torricelli publicou pouca coisa, e tudo sob a forma de apontamentos desordenados, freqüentemente incompreensíveis e desconexos. Felizmente, sua correspondência com outros sábios permitiu reconstituir os problemas que atraíam, na época, sua atenção.

Com a experiência do tubo que, cheio de mercúrio e invertido num recipiente do mesmo líquido, fica cheio só até um nível de cerca de 76 centímetros, Torricelli colocou em novas bases a afirmação aristotélica de que a "natureza tem horror ao vácuo". Na verdade, o tubo de mercúrio fica parcialmente cheio, não por causa de razões misteriosas que levariam os corpos a preencher os vazios existentes, mas devido à pressão atmosférica. A experiência de Torricelli serviu para comprovar a sua existência e, simultaneamente, medir o seu valor.

A invenção do barômetro não constituiu porém um fato isolado. Torricelli estudou muitos problemas concernentes à mecânica dos fluidos e à hidráulica aplicada. Conseguiu encontrar uma regra que permite avaliar a velocidade com que a água sai de um orifício praticado na parede de um recipiente, quando é conhecido o desnível que medeia entre o orifício e a superfície livre do líquido. A descoberta de que essa velocidade é igual à que a água adquiriria, se caísse livremente no vazio de uma altura igual ao desnível, constitui, praticamente, uma conseqüência direta das experiências de Galileu sobre os movimentos sujeitos à ação da gravidade, mas também representa uma intuição do princípio da conservação da energia.

Seus numerosos estudos de hidráulica não se limitaram unicamente à teoria. De fato, deve-se a ele o famoso estudo para o saneamento do vale do Chiana, contido no trabalho intitulado Sôbre o Curso do Chiana, publicado somente em 1768. A publicação contém, ainda, diversas observações sobre o movimento das águas.

Sua "preguiça" na realização de experiências não abrangia os trabalhos na óptica. Torricelli sabia construir instrumentos ópticos perfeitos, embora, estranhamente, nunca houvesse efetuado observações astronômicas, muito em voga na época. Assim, dizia que a sua residência, na praça do Duomo, não era, em absoluto, adequada às observações, uma vez que a cúpula de Brunelleschi (da Igreja de Santa Maria del Fiore) lhe impedia a visão do céu.

Acredita-se que Torricelli tenha aprendido diretamente de Galileu a arte de fabricar lentes. Além disso, desenvolveu um sistema para controlar a perfeição das superfícies obtidas. Suas peças se tornaram famosíssimas em todos os círculos científicos da época. Seus instrumentos ópticos alcançaram tal perfeição que o tornaram famoso por toda a Europa. O Grão-Duque da Toscana lhe deu trezentos escudos de ouro por sua invenção.

No entanto, a "receita" da descoberta se perdeu. Em outubro de 1647 Torricelli foi atacado por uma febre tifóide que, a 25 do mesmo mês, o levou à morte. O segredo, regiamente comprado pelo duque, veio a ser confiado por sua vez a Viviani. Em seguida, não houve mais informação alguma a seu respeito.

A maior preocupação de Torriceili, às vésperas da morte, dirigiu-se para os seus manuscritos. O moribundo recomendou a um amigo, o notário Ludovico Serenai, que os enviasse a Castelli, para sua impressão. Castelli, porém, faleceu 35 dias depois. M. Ricci recusou o pesado encargo. Viviani aceitou-o, mas não o cumpriu (sendo, por isso, acusado de querer sabotar o projeto), até que o fatigante e difícil trabalho de transcrição foi iniciado por Serenai que, todavia, não chegou a vê-lo impresso. Na realidade, a edição integral das obras data de 1919.

Isaac Newton, Cientista, químico, físico, mecânico e matemático que nasceu 1 ano depois da morte de Galileu Galilei.

Um substituto? Talves.      Grande físico? Com  certeza.

Destino: Galileu e Newton

Galileu com sua teoria heliocentrica foi preso pela igreja católica na época medieval, mas com Newton com sua teoria da gravidade universal não foi preso. Isso explica-se pela época em que aconteceu o caso do Newton, a ciência já estava mais avançada, a igreja católica tinha menos poder e por isso ele não foi preso e condenado.

Revolução na Física

Em um período de menos de dois anos, Newton deu início a uma revolução na matemática, na física e na astronomia. Entre outras coisas, foi nesse período que Newton desenvolveu o cálculo diferencial e integral, peça fundamental em todo trabalho teórico das ciências naturais, desde essa época.

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